宿題を一つこなした
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m({n-1}!/n) を m({2n}!/2n+1) と書き換える。
数列により、
an=2n(2n-1)a=~
よって、an=2n×n!×[(2n-1)×(2n-3)×~×(2n-{2n-1}]
数学的帰納法で確認すると、
n=1のとき、m(2!/3)=m(2×1×1/3)=m(2/3) 成り立つ。
n=kのとき、成り立つとすると、
n=k+1のとき、m({2n+2}!/2n+3)=m(2×{n+1}×{2n+1}×{2n}!/2n+1) 成り立つ。
以上により、m({2n}!/2n+1)=m(2n×n!×[(2n-1)×(2n-3)×~×(2n-{2n-1}]/2n+1)
これを利用して、
m({2n}!/2n+1)
=m(2n×n!×[(2n-1)×(2n-3)×~×(2n-{2n-1}]/2n+1)
=m(2n×n!×[({2n+1}-2)×({2n+1}-4)×~×({2n+1}-{2n}]/2n+1)
=m({-1}n×22n×{n!}2/2n+1)
また、
m({2n}!/2n+1)=m({-1}n×{n!}2/2n+1)
よって、
m(22n/2n+1)=m(1/2n+1)
また、
m(2n/2n+1)=m(|1|/2n+1)
ただし、これは素数に関して求められた式を援用していたので（本来、I の添字で、対数をとった。）、素数ならば成り立つが、その逆は成り立たず、奇数全体を見た場合、いくつかの奇数については成り立たない。
例えば、
m(28/9)=m(256/9)=m(4/9)、m(24/9)=m(16/9)=m(7/9)
m(212/13)=m(4096/13)=m(1/13)、m(26/13)=m(64/13)=m(-1/13)
エクセルで確認してみる。
までもなく。簡単な話で、
m(10n/P)=m(2n×5n/P)
ということの単純な現れであり、例えば、
m(10340/341)=m(2340×5340/341)=m(1×67/341)
👇これが思った以上に面白い。
オイラーの微分とニュートンのオミクロン
y=x^2のとき、dy=(x+dx)^2-x^2=2x+(dx)^2
このとき、(dx)^2=0
この説明が面白くて、(d)^0平面では、(d)^1は0扱い。"同様に"(d)^1平面では、(d)^2は０扱い。０の「特別でなさ」を力説する。
とにかく、演算的な利便さを最優先。それで計算できるんだからいいじゃないか、という軽々しさ。ζ関数の発見の時も、オイラーの特別な独創性から語りたがる人が多いと思うけれど、本当はそうじゃなくて、オイラーの持つ、鷹揚さからくる適当さ、或いは、挑戦的な悪戯、マリーシアmaliciaだと思う。だから、いい。
オイラーも「見る人」らしい※。
とんでもない天才で、想像すらできないと思っていたが、思った以上に近い存在なのかもしれない。
※ちなみに、オイラーは、失明したんアけれど、失明してからますます意欲的に数学研究を行ったらしい。
乳児期の、まだ視力の弱い時期に、掌の触覚が視力の代わりになって、イメージを喚起する力を養うのだと思っている、自己の経験から。格闘家の秋山さんは、赤ん坊の足の裏を擦って刺激することを進めていたよね。運動神経に関係するって。☞ホムンクルス 脳の中のこびと
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