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一つの試行として。
今までは、10進数の余り（正ピッチ、と呼ぶ。）と、その余りの数の進数（余ピッチ、と呼ぶ。）を考えてきたが、反ピッチも考えることとする。
例えば、素数７の場合、10-7=3より、正余で10進数と3進数の同数となり、m(10n/7)=m(3n/7)=(1,3,2,-1,-3,-2,(1))であり、だからこのとき反ピッチは、m{(-2)n/7)=(1,-2,-3,-1,2,3,(1))である。まただから、m(1/7)=m(36/7)=m{(-2)6/7)であり、反ピッチが正ピッチを割り返したものならば、反ピッチの進数が不明の時は、それを以下の式で求めればよい。
m(1/7)×m(3/7)=m(1/7)÷m(x/7) よって、m(3+7c/7)=m{(1/x)+7c/7)
実際に求めてみると、
❶
式の両辺を比較して、m(3x-1/7)=0,3x-1=7c よって、x=5
❷「対数」を使う。
m(3/7)=m(10/7)=m{(1/x)/7)より、log10=log(1/x),log2+log5=-logx
(1) x=2^cとすると、m{(3×2)×2~/7)=m{{(-1)×2)×2~/7)=m{(5×2)×2~/7)=roop//
(2) x=5^cとすると、m(3×5/7)=m(1/7),よって、x=5
以上より、x=5
❸「対数」と「虚数」を使う
m(3/7)=m(-4/7)=m{(1/x)/7)より、log(-4)=log(1/x),2(logi+log2)=-logx,logi+log2=(1/2)logx-logx,log2+logx=(1/2)(logx-2logi)=(1/2)(logx+log(1/i)^2)=(1/2)(logx+2logi),2(log2+logx)=-2log2,2log2=-logx,4x=1
そうすると、m(-4/7)=m(4/m)となって、不可。
この場合、m(|-4|/7)=m(|4|/7)なら、まだ言えないこともないが。
これでは解けないので、❷と同じ様に、場合分けをする。
そうすると、素数13の場合、
m(-3/13)=m{(1/x)/13)
2(log3+log2c)=-logx,log(6c)^2=-logx
m(-3/13)=m(36/13),m(1/13)=m{(36/(-3))/13)=m{(-12)/13)=m{(-3x)/13),x=4
つまり、素数13は、反ピッチが4進数であることがわかる。
虚数を以前使ったので、対数も使うことにした。このとき、虚数にしろ、対数にしろ、元の数との、正負、正余、偶奇の循環に基づく、対応関係に着目した「相対的な数」として取り扱って、その限りで穏当な手続きであればよく、そこで成立した対応関係を離れては成立しない。
ただ、正負のルールを明確にしておかないと、素数7で見られたように、ごちゃごちゃになって意味をなさないことがわかった。
《２進数と余ピッチ、半ピッチ、反ピッチの関係》
実りの少ない一日だった。後でまた、素数７ももう一度計算してみよう。
ただ、正ピッチと反ピッチを掛け合わせると、見た限りでは、１になるーつまり、幾何平均が１になるーのだが、すべてにおいて言えるだろうか。
幾何平均 - Wikipedia
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 - Wikipedia
コーシー列 - Wikipedia👇これね。
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役者が揃ってきた、という感じかな。
いよいよ、数学に成って来たのだろうか。でもスタイルを変えるつもりはない。
