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数1～Ｎ～1,000の中で、第1列目の第Ｎ行目の数が1となる数Ｎを見る。
1～1,000の中には、素数が167個あって（167番目は997）、素数以外で上の条件を満たすのは、33（3*11）,99（3*3*11）,259（7*37）,451（11*41）,481（13*37）,561（3*11*17）,657（3*3*73）,703（19*37）,909（3*3*101）の９個。素数はすべて上の条件を満たす。
１が余ればよいのだから、
(10^(N-1))÷N=C（あまり1）
すなわち、
(99…9)÷N=C
9*(11…1)÷N=C
11…1=(C/9)*N
ところで、
【(10^01-1)/9】1=1
【(10^02-1)/9】11=11
2桁の循環：ab*N=9*11
【(10^03-1)/9】111=3*37
3桁の循環：abc*N=9*111
【(10^04-1)/9】1111=11*101
4桁の循環：abcd*N=9*1111
【(10^05-1)/9】11111=41*271
5桁の循環：abcde*N=9*11111
【(10^06-1)/9】111111=3*7*11*13*37
6桁の循環：abcdef*N=9*111111
【(10^07-1)/9】1111111=239*4649
7桁の循環：abcdefg*N=9*1111111
【(10^08-1)/9】11111111=11*73*101*137
8桁の循環：abcdefgh*N=9*11111111
【(10^09-1)/9】111111111=3*3*37*333667
9桁の循環：abcdefghi*N=9*111111111
【(10^10-1)/9】1111111111=11*41*271*9091
10桁の循環：abcdefghij*N=9*1111111111
【(10^11-1)/9】11111111111=21649*513239
11桁の循環：abcdefghijk*N=9*11111111111
【(10^12-1)/9】111111111111= 3 * 7 * 11 * 13 * 37 * 101 * 9901
12桁の循環：abcdefghijkl*N=9*111111111111
以降は、例えば、
18桁の循環：abcdefghijklmnopqr*N=9*111111111111111111
(111|111|111|111|111|111)÷3=037037|037037|037037
(037037|037037|037037)÷37=1001|1001|1001
(1001|1001|1001)÷11=91|91|91
(91|91|91)÷7=13|13|13
(13|13|13)÷13=111
111111111111111111=3*37*11*7*13*3*37=(3^2)*7*11*13*(37^2)
ちなみにこの条件は、👇に対応しており、1/Ｎの小数第Ｎ位の数を見ればよいことと同じである。つまり、1/Nの小数第Ｎ位の数が対応する数であるとき、Ｎは素数である可能性がある。
例）
1/11＝0.09090909090～
1/13＝0.0769230769230～
1/17＝0.5882352941174670～
1/19=0.0526315789473684210~
1/41＝0.024390～024390～
1/809=0.
00123609394313967861557478368355995055624227441285
53770086526576019777503090234857849196538936959208
8998763906056860321384425216316~106304079110~
1/33=0.0303030303~030~（2桁の循環，2*16=32）
33÷(2+1)=11//
1/99=0.0101010101~010~（2桁の循環，2*49=98）
99÷(2+1)=33//
1/259=0.00386100386~0038610~（6桁の循環，6*43=258）
259÷(6+1)=37//
1/451=0.0022172949~00221729490~（10桁の循環，10*45=450）
451÷(10+1)=41//
1/481=0.00207900207~0020790~（6桁の循環，6*80=480）
481÷(6+1)=68...5,481÷(6*2+1)=37//
1/561=0.00178253119~
561÷(16+1)=33//
1/657=0.00152207001~001522070~（8桁の循環，8*82=656）
657÷(8+1)=73//
1/703=0.0014224751~0014224751066856330~（18桁の循環，18*39=702）
703÷(18+1)=73//
1/909=0.00110011001~00110~（4桁の循環，2*227=908）
909÷(4+1)=181...4,909÷(4*2+1)=101//
余りの表の第1列目の第Ｎ行目が1とならない数、例えば、
567は、余りの数の表の第1列目の数が［1,10,100,433,361,208,379,388,478,244,172,19,190,199,289,55,550,397］で、すなわち、1/567=0.001763668430335097～（以下、繰り返し）の18桁の循環だが、余りの表の（第567行は478で）第577行目が再び1となるため、577-567=10より、18+1=19,19-10=9,567÷9=63、により567=3^4*7、18を因数に持たない（ちなみに、18*16+1=289,289*2=578であり,567÷(18*n+1）は割り切れない）。
また357は、48桁の循環だが、385-357=28より、48+1=49,49-28=21,357÷21=17
余りの表の、第566列目の、循環する18の数は、それぞれ以下の計算で求められ、この数が、等差数列を為す各行の、公差である。
566-9=557
557-90=566-99=467
467-900=566-999=-433,-433+567=134
-433-9000=566-9999=-9433,-9433+(567*17)=206
-9433-90000=566-99999=-99433,-99433+(567*176)=359
-999433+(567*1763)=188
-9999433+(567*17636)=179
-99999433+(567*176366)=89
-999999433+(567*1763668)=323
-9999999433+(567*17636684)=395
-99999999433+(567*176366843)=548
-999999999433
すなわち、何桁の循環かがわかれば、素数か素数でないかのひとつの判別法となるかもしれない。
ただし、この９個の数の表を見ると、素数ならば十分まばらに分布しているはずが、歪みが生じている。例えば、約数の列に重複する数が出たり、０近傍、末尾の数が対の数と足して得られるところの数となっていないであるとか。
ただ、無限にある素数のうち、たった1000程度では、数が小さすぎて確信が持てない。
また、数が大きくなると、いちいち表を隅々まで調べていられない。
十分まばらであることを知るには。素数がまばらに分布しようとするポテンシャルを持っているとき、歪みを敢えて与えた時の「復元力」のようなものが発見できれば。
