markovproperty.hatenadiary.com
たとえば、７の場合
3^2=9>7より、7=x+3y,m(7/3)=m(x+3y/3),m(1/3)=m(x/3),x=3n-2
y=(7-x)/3=(7-3n+2)/3=3-n,x≧y,3n-2≧3-ｎ,n≧(5/4),4≧x,4≧3n-2,2≧n
よって、n=2
したがって、7=(4×1)＋(1×3)
これがもっとも簡単な例であるが、どのNについても、こんなに簡単に言えるだろうか。条件を付加するとしたら、どうなるだろう。
また、外積についても、より考察したい。
12の場合
4^2＝16>12より、12=x+3y+5z
m(12/3)=m(0/3),x+5z=3(n-1)+0=3n-3
m(12/5)=m(2/5),x+3y=5(m-1)+2=5m-3
y=(12-x-5z)/3=(12-3n+3)/3=(5-n)
z=(12-x-3y)/5=(12-5m+3)/5=(3-m)
これにより
x=12+3n-15+5m-15=3n+5m-18
4≧x≧y≧z,4≧3n+5m-18≧(5-n)≧(3-m),
から
3n+5m≦22
4n+5m≧23
2≧n-m
m≦3
以上、4式を得る。
n-m=2のとき、15/9≦m≦2
n-m=1のとき、19/9＝2.11≦m≦19/8＝2.375，mは自然数の値を取らないため、不可
n-m=0のとき、23/9=2.56≦m≦22/8＝2.75，同上
n-m=-1のとき、27/9=3≦m≦25/8=3.125
n-m=-2のとき、31/9=3.44≦m≦28/8=3.5，同上
n-m=2-tのとき、 (15+4t)/9≦m≦(16+3t)/8にしたがう
（m軸と青線と赤線に（境界線を含んで）囲まれた領域内。mが自然数を取るのは、(m,t)=(2,0)，(3,3)のときのみ）
よって、m=2,n=4のとき、(x,y,z)=(4,1,1)で、12=(4×1)+(1×3)+(1×5)
また、m=3,n=2のとき、(x,y,z)=(3,3,0)で、12=(3×1)＋(3×3)+(0×5)
一般的に言っても、ｎ3（=1a+3b+5c）で、Mmin≦m≦Mmaxのとき、dMmin/dt＞dMmax/dtであるので、上の図のように、閉じた領域を持つ。
だんだん七面倒くなってきたが、一応答えは出る。
