これは本当にすごいな。
何がすごいって、「読解」すれば、わかるようになっているんだろうね。
すごいね。よくこんな問題思いつくものだと感心する。
「理解する」ってどういうことなのだろう。それが言葉を通じて為されるとき、それが「読解」だ。
【７ 数を分けていくツリーのふしぎ】
『数学ができるようになる算数ドリル』P４６
数を２つに順次分けて行って「ツリー」を作るという。記号を割り当てる。
( A | B | C | D | E | F | G | H ) ８
( A | B | C | D | E | F | G | H ) ∟（５＋３）
( A | B | C | D | E | F | G | H ) ∟（３＋２）∟（２＋１）
( A | B | C | D | E | F | G | H ) ∟（２＋１）∟（１＋１）∟（１＋１）
( A | B | C | D | E | F | G | H ) ∟（１＋１）
前段
A+B+C+D+E+F+G+H
＝（ A + B + C + D + E ）+（ F + G + H ）
＝（（ A + B + C ）+（ D + E ））+ （（ F + G ）+ H ）
＝（（（ A + B ）+（ C ））+（（ D ）+（ E ）））+（（（ F ）+（ G ））+ H ）
＝（（（（ A ）+（ B ））+（ C ））+（（ D ）+（ E ）））+（（（ F ）+（ G ））+（ H ））
後段
＋（ A + B + C + D + E ）×（ F + G + H ）
＋（（ A + B + C ）×（ D + E ））+ （（ F + G ）× H ）
＋（（（ A + B ）×（ C ））+（（ D ）×（ E ）））+（（（ F ）×（ G ））
＋（（ A ）×（ B ））
「展開」すると、どうなるか。
＋AF+BF+CF+DF+EF+AG+BG+CG+DG+EG+AH+BH+CH+DH+EH
＋AD+BD+CD+AE+BE+CE+FH+GH
＋AC+BC+DE+FG
＋AB
=(AB+AC+AD+AE+AF+AG+AH)+(BC+BD+BE+BF+BG+BH)+(CD+CE+CF+CG+CH)+(DE+DF+DG+DH)+(EF+EG+EH)+(FG+FH)+GH
数を２つに分けるたびに新しくできた２つの数をかけてゆくんだ
７ 数を分けていくツリーのふしぎ
『数学ができるようになる算数ドリル』P４６
その後、その積の和をだすのだけれど、それはさておき、さて「読解」である。
10 ゆくんだ til all
20 ↳かけて
30 ↳数を
41 ↳２つの
42 ↳できた
50 ↳新しく
60 ↳たびに for every
70 ↳分ける
80 ↳数を
90 ↳２つに
どうもうまくゆかない。
⓪( A | B | C | D | E | F | G | H )
①( A | B | C | D | E | F | G | H ) + ( 5 × 3 )
②( A | B | C | D | E | F | G | H ) + ( 2 × 1 )
③( A | B | C | D | E | F | G | H ) + ( 3 × 2 )
④( A | B | C | D | E | F | G | H ) + ( 1 × 1 )
⑤( A | B | C | D | E | F | G | H ) + ( 1 × 1 )
⑥( A | B | C | D | E | F | G | H ) + ( 2 × 1 )
⑦( A | B | C | D | E | F | G | H ) + ( 1 × 1 )
さて、問題を言い換えるとこうである。
P( n ) = P( α ) + P( β ) + ( α × β ) , α + β = n
ただし、１は２つに割れないので、P( 1 ) = 0 とする。
したがって、
P( 8 ) = P( 5 ) + P( 3 ) + ( 5 × 3 )
P( 5 ) = P( 3 ) + P( 2 ) + ( 3 × 2 )
P( 3 ) = P( 2 ) + P( 1 ) + ( 2 × 1 )
P( 2 ) = P( 1 ) + P( 1 ) + ( 1 × 1 ) = 1
P( 3 ) = 1 + 0 + ( 2 × 1 ) = 3
P( 5 ) = 3 + 1 + ( 3 × 2 ) = 10
P( 8 ) = 10 + 3 + ( 5 × 3 ) =28
ここで、（ A B | C）から（ A B C ）への変化を考えてみると、（ A B C ）の場合の数は、ABとAC、BCの３通りであり、これは、（ A B C ）の３文字から２文字を選ぶ場合の数に等しい。2C2 = 1 より、3C2= 2C2 + 1C2 + ( 2 × 1 ) , 2 + 1 = 3 で 1C2=0 とするならば、n=3のとき、P( n ) = nC2 が成り立つ。
n= t のとき、P( t ) = tC2 が成り立つならば、P( t + 1 ) = P( α ) + P( β + 1 ) + α× ( β + 1 ) = αC2 + β+1C2 + α×( β + 1 ) = α+1C2 + βC2 + ( α +1 )× β = t+1C2 , α + β + 1 = t+1
で n= t+1 のときも成り立つ。
nC2
=n ( n - 1 ) /2
= ( α + β )( α + β - 1 ) / 2
= {( α + β )2 - ( α + β )} / 2
= { α ( α - 1 ) + β ( β - 1 ) +2( α × β )} / 2 = α ( α - 1 ) / 2 + β ( β - 1 ) / 2 +2( α × β ) / 2
= αC2 + βC2 + ( α × β ) , α + β = n
すなわち、この問題は、（順番に関係なく）n個から2個選ぶ場合の数に等しく、それは「総当たり戦」と等しいので、順番に選び取って行くときには、（ n - 1 ）までの和で求められる。
どうも「読解」がうまくゆかない。再帰的な場合の記述の仕方がうまくゆかない。
これは、トーナメント戦と総当たり戦をくらべることにもなっている。
P()はフィボナッチ数列を思い出して、構成した。
それよりも「読解」がままならない。弱ったな。
