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７以下の素数は、７を除くと{3,5}で、５は素数と言っても１０進数では特殊な数で、５で割った余りについては1/5即ち1/10×10/5であり0.2のｎ倍(ただし、１乃至４）なのであるから、素数らしい素数と言えば、３だけである。
或る奇数Оについて、2n-1<O<2nは自明であるが（数直線上に並ぶ数は偶数でなければ奇数であるので、或る奇数を選べば両隣は必ず偶数であって、隣の数が2nでなかった場合、そのほかのいずれかの偶数が2nなのであるから。また、２進数表記したときの第q番目の桁の値をpとしたときのp×Σ(1/2)qであるので、例えば、53=2×(26+1/2)=22×(13+1/22)=23×(6+1/2+1/23)=24×(3+1/22+1/24)=25×(1+1/2+1/23+1/25)<25×2=26）、1<Ｏ/2n-1<2であることを利用して、考える。
ℕ倍のコピーをするには、ℕ=2n×(ℕ/2n)=(8/5)n×(5/4)n×(ℕ/2n)であるから、７倍のコピーをするには、22＜7＜23より、(8/5)2×(5/4)2×(7/22)=1.62×1.252×1.75とすればよい。なお、(7-1)×(7/7-1)=(2×3)×(7/2×3)としても、同じである。
P00=7×(1/10)n
n=0のとき なし
n=1のとき 700の約数は、18個。約数を小さい方から順に並べた集合{an}は
{...,10,14,20,25,28,35,50,70,...}
α+β=19のとき、aα×aβ=700。このとき、a7×a12=1.4×5.0からa9×a12=2.5×2.8までが小数点以下が１桁以下となる数の積である。
n=2のとき、70,000の約数は、50個。約数の集合{an}は
{…,100,112,125,140,175,200,250,280,350,400,500,560,625,700,...}
α+β=51のとき、aα×aβ=70,000。このとき、a20×a31=1.12×6.25からa25×a26=2.50×2.80までが小数点以下が２桁以下となる数の積である。
P10=28×(1/10)nを同様に考えると、1.60×1.75=2.80が見つかる。
P21=25×(1/10)nを同様に考えると、1.25×2.00=2.50が見つかる。
P22=20×(1/10)nを同様に考えると、1.25×1.60=2.00が見つかる。
したがって、7=1.252×1.62×1.75である。
ところが、この一通りしかないかと言うと、そうではなく、
(5/22)3×(7/5)×(23/5)2=1.253×1.4×1.62=7
がある。
どのような数を掛け合わせて７を作っても、隣接項の積に変形できることから、隣接項の積から始めて、それを適当にいくつかの数の積に分割して、それぞれの項が１より大きく２より小さい小数になるように工夫する。
５を除く素数の分母で割り切るには、同数の分子が必要であることから最初から約分しておく。
7=(2×3×4×5×6×7)/(1×2×3×4×5×6)=(24×5×7)/(24×5)
1<(7/5),(23/5)<2，1<(5/22),(7/22)<2であることから、これらを掃き出してゆくとできるのであるから、それならば、最初からそうすればよい。
すなわち、７を分子とし、５を除いた素数以外の数の積で掃き出す。
1<(7/22),(7/5)<2より、7=(7/4)×4=(7/5)×5
1<(23/5)<2 ，1<(5/22)<2より、(23/5)2×(5/22)2 ×(7/22)=1.62×1.252×1.75=7
1<(5/22)<2 ，1<(23/5)<2より、(5/22)3×(23/5)2×(7/5)=1.253×1.62×1.4=7
