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できた。

ちなみに、N=17の場合、
5²>17>4²より　17=a×1＋b×3＋c×5＋d×7
m(17/3)=m(3n-1/3)=m(a＋5c＋7d/3)
m(17/5)=m(5m-3/3)=m(a＋3b＋7d/5)
m(17/7)=m(7ℓ-4/3)=m(a＋3b＋5c/7)
4≧a=3n＋5m＋7d－42≧b=6－n≧c=4－m≧d=3－ℓ≧0
これを整理すると、(48-X)/4≦n≦(46-X)/3，X=5m+7ℓ
n-X平面上のnの領域内の自然数とｍℓ平面上の－3≦m-ℓ≦1の領域内で（移動する）Xの線上の自然数の組で、可能なものは、(n,m,ℓ)=(3,3,3)，(5,3,2)の2組
したがって、17＝3×1＋3×3＋1×5＋0×7=2×1＋1×3＋1×5＋1×7
これ以上は、抽象化しないと、難しいだろうか？
外積（テンソル）⇄四元数⇄イデアル
グラスマン、ハミルトン、高木貞治、どこから勉強しようか。
高木貞治って頭良かったんだなぁ。すごい。

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 ここまで手が回らないな。