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N=41の場合。41＝a×1＋b×3＋c×5＋d×7＋e×9＋f×11とし、それぞれの項の剰余をとると，
a=(3b+5c+7e+9e+11f)-177,b=14-n,c=9-m,d=6-ℓ,e=5-k,f=5-j
このとき、4≧a≧b≧c≧d≧e≧f≧0を満たすように、着目した項以外をXとして、それぞれ可能な領域を示すと上図のとおりとなる。
これが隣接するグラフとの相互規則を持ち、自ずと、各変数の値が定まる。
したがって、
41＝2×1＋2×3＋2×5＋2×7＋1×9＋0×11＝3×1＋3×3＋3×5＋2×7＋0×9＋0×11
（係数の和：2＋2＋2＋2＋1＋0＝9）（係数の和：3＋3＋3＋2＋0＋0＝11）
となり、前回見出した、奇数の場合は係数の和が奇数の法則にも沿っている。ちなみに、仮に係数がすべて１だとした場合、項数が６なので、奇数が偶数個ある和となり、係数の和は奇数である。
即ち、平方を取らずとも、相互に剰余は羈束するのである。
何を言っているか？
要は、構造的に捉えると、ガロアの云った通り、（平方剰余の相互規則を用いたラグランジュの証明は）このように言い換えられる、ということである。
そうすると、
7-1＝1×4+3×1-1＝1×3＋3×1
1ℑ3×3(−1)＝71
13-1＝1×4+3×3-1＝1×3＋3×3
1ℑ3×3(−1)3＝131
41の場合はどうだろうか。
これは、つまりは、円分方程式とのつながりのことである。
41はピッチが５である上表で剰余がプロットされる（10nを41で割った余りを順に並べる。1/41=0.02439の各桁の数と1対1の対応をしている）。これはまた、xy平面上の原点を中心とする円に内接して、頂点の一つが (x,y)＝(1,0)である五角形の頂点を順に移動するということであるが、１を引いたうえで係数をあらためて見ると、（係数｜1，2，2，2，1，0）と（係数｜2，3，3，2，0，0）であるから、これらをDとして、それぞれに対応するRを選ぶと、（R｜ℑ1×1，ℑ3×2，ℑ5×2，ℑ7×2，ℑ9×1，0）と（係数｜ℑ1×2，ℑ3×3，ℑ5×3，ℑ7×2，0，0）となる。
これは積算すると、m(1×1＋3×2＋5×2＋7×2＋9×1/5)＝0であるので、R=1となり、もう一方も、m(1×2＋3×3＋5×3＋7×2/5)＝0で、やはり、R=1となる。つまり、自然数が高々４つの平方和で表せるとき、循環数と関係して、係数が決まるらしい、ということである。
👇今日は、この２乃至３冊を、読み込もうと思ったが、なかなかはかどらない。
昨年も2ヵ月縛りでいたが、今年もそうだな。長いことはやっていられない。
ちょっと早いけれど、歯医者に定期検診も行きたいし、掃除もしたいし、天気が良い日が増えたので、運動靴もせっせと洗って干したい。生活を回すって、人生で、一番大変。
