とりとめもないが。ゆっくりと考える時間もとれないので。
とりあえず、メモだけは残しておく。
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結局、すべての自然数は、高々４つの平方の和で表現することができるのだが※、その証明を考えていて、（自分で問題設定しておきながら）ようやくその問題の意味が分かった。
※ラグランジュが平方剰余を用いて、背理法によって証明したらしい（四平方定理 - Wikipedia）が、それは後で勉強することにする。
つまり、奇数列の中に在る、或る連続する数列４つのの和と差で、すべての自然数を表現で来るか、と言い換えることができるのであった。
Ⅰ {0,①,3,5,7,9,11,~} から {0} Ⅰ' {0,①,3,5,7,9,11,~}
Ⅱ {0,1,3,5,⑦,9,11,~} {7} Ⅱ' {0,1,3,⑤,7,9,11,~}
Ⅲ {0,1,3,5,⑦,9,11,~} {5,7} Ⅲ' {0,1,③,5,7,9,11,~}
Ⅳ {0,1,3,5,⑦,9,11,~} {9,11} Ⅳ' {0,1,3,5,7,9,⑪,~}
或る自然数Nについて、
|(1×i＋4×j＋4×k)＋4|×|(1×i＋4×j＋4×k)－4|＝12＋42＋42＋42＝49
であるとき、元の数列から選べる、連続する数の和とそれらの差 k が
(9+11)-{(0)+(5)+(5+7)}＝1
であることから、
|(1×i＋2×j＋3×k)＋6|×|(1×i＋2×j＋3×k)－6|＝12＋22＋32＋62＝50
を得ることができる。
すべての自然数から k を選ぶことができればよいのである。
ところで、あとから念のため確認してみた。
を眺めるとP25に『27 四元数の除法』とあって、似たような式が提出されている。
連立方程式を中学生のように、加減法で解いてもよいし、大学生風にCramerの公式を用いてもよい
P26 脚注10
とある。
逆に言えば、NもN+nもある4つの奇数列の和（1+～+(2k-1)，K:k1,k2,k3,k4）で表せるとき、その差は、奇数列の和（(2k'-1)+～+(2k-1)，K:k1,k2,k3,k4）をうまく選んで足し合わせた数の差で表せられるはずであるから、すべての自然数Nで謂えるのであれば、そのうちのどの自然数から始めても、やはり同じように言えるだろう、いうことである（すべての自然数で可能であれば、N=1はもちろん、N=49でも50でも可能であり、49が可能である、50が可能である、49から始めて、1が可能である、といずれも言える、ということである）。
フィボナッチ数列は、今では、中学入試にも頻出するような、「小学生の問題」になっているので、むしろ、小学生に教えてもらおうかしら？ー実は、（自分の知る限り）センター試験よりも、少しだけ難しい。
たとえば、もっとも単純な問題だと、１０段の階段を上がるときに、１段ずつと１段抜き（２段ずつ）で上ってよいときに、何通りの上り方があるか、ということで、順に逆算してゆく方法である。
ｎ段までの上り方を a(n) 通りとするなら、a(10)＝a(9)+a(8)
ということであるが、要は、10=2m+nであるところから、∑m:0~5 (10-mCm ) 通りである。
可視的には、{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}を交換して、{2,2,2,2,2}に順にしてゆくときの（その並べ方の総）数のことである。
自然数N＝x1×1＋x2×3＋～＋xk×(2k-1)，ただし、xk+1≦xk ,1≦xk≦4
と、{ｘ}と{2k-1}の積で表現できる。{ｘ}を合同数m(N/2k-1)の連立方程式として求められるか。
また、より抽象的に、
ベクトル空間 V 上の外積代数 ⋀(V) はテンソル代数 T(V) を x ⊗ x (x ∈ V) の形の元で生成される両側イデアル I で割った商多元環として定義される[4]。これを記号的に
⋀ ( V ) := T ( V ) / I
と表せば、⋀(V) の 2 元の楔積 ∧ は
α ∧ β = α ⊗ β ( mod I )
で与えられる。
[4]これは標準的な定義の一つ。See, for instance, MacLane & Birkhoff (1999).
{ｘ}と{2k-1}の外積として表すことができるとき、
ⅠN➝N+kを直接求めるのが不可能で、N➝N+mが可能のとき、NがN+kとN+mの
ⅰ内分点と成る場合
ⅱ外分点と成る場合
ⅡN➝N+kを直接求めるのが可能な場合
あれ、「４」ーnaturalnumber"4"ーと謂えば、四色定理だな。
四色定理の解決は、《矛盾》を導入すると現出する《無限》を排除して、有限の範囲で一様さを得ることで、局所的に解決することができるが、これなどはある意味でεーδ論法の変奏であると言える。
そのようにして、離散数学において、微分の意味を持たせることができる。
"そういうこと"だったのだろうか
