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二次式に行く前に、一次式でもまだできることがある。
m(77/5)=m(α・β/5)=m(1・2/5)=m(₍5a±1₎₍5b±2₎/5)
₍5a+1₎₍5b+2₎=77
5ab+b+2a=15
m(5ab+b+2a/3)=m(2a₍b+1₎+b/3)=m(0/3)
m(b/3)=m(a₍b+1₎/3)
m(5ab+b+2a/5)=m(b+2a/5)=m(0/5)
m(b/5)=m(3a/5)
a=2のとき、b=1で、5ab+b+2a=15が成り立つ。
₍5a-1₎₍5b-2₎=77のときは、5ab+b+2a=15が成り立たない。
よって、(a,b)=(2,1)
確認したい数が素数のときは、矛盾して成り立たない。
たとえば、
m(1283/5)=m(1・3/5)
(5a±1)(5b±3)=1283
5ab±b±3a=27
m(5ab±b±3a/2)=m(ab-₍a+b₎)=m(0/2)
ab=₍a+b₎=kとして、a,bを解とする二次方程式の判別式を考えると、D=k(k-4)=0よりk=4よって、a=b=2となるが、5ab±b±3a=27が成りたたず、矛盾。したがって、背理法により、1283は素数である。
『数の帝国』では、999,999,937が、表示できる、最大の素数である。
ならば、9,999,999,937はどうか。
m(9,999,999,937/5)=m(2/5)
₍5a±1₎₍5b±2₎=9,999,999,937
25ab±5b±10a=9,999,999,935
5ab±b±2a=1,999,999,987
m(b₍a±1₎/2)=m(1/2) より aは奇数、bは偶数。
m(±b±2a/5)=m(2/5)，m(b/5)=m(3₍a∓1₎/5)，m(2s/5)=m(₍t∓1₎/5) s,tは自然数であるから矛盾。
したがって、9,999,999,937は素数。
あんまり自信がないな。
計算間違いしていた。
ab+b/2=1/2
b₍a+1₎/2=1/2
aは偶数(a=2s)、bは奇数(b=2t-1)
b+2a/5=2/5
b/5=3(a-1)/5
2t-1/5=(s+3)/5
-b-2a/5=2/5
b/5=3(a+1)/5
2t-1/5=(s+3)/5
によると、197で割れるらしい。
9,999,999,937=50,761,421×197=(5×10,152,284+1)×(5×39+2)
なお、50,761,421は素数。
考え方としては合っているけれど、
b/5=3(a-1)/5の求め方に工夫がないと、すぐには計算できない。
いくつかの素数で試してみた。似たようなものである。一般化できるのだろうか。
