パスカルの三角形 ③

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なんだか3003がたくさん出てくるということなので。
考えてみた。

{Σ}^kK=Σ_n+kC_k+1=(n+k)!/₍(k+1)!×(n-k-1)!₎※
3003=Σ₁₅C₅=15!/₍5!×(15-5)!₎，また
3003=Σ₁₄C₆=14!/₍6!×(14-6)!₎，このとき
₍15!×6!×(14-6)!₎/₍14!×5!×(15-10)!₎=₍15×6₎/₍9×10₎=1

一般化して、

₍n!×6!×(n-m-6)!₎/₍(n-m)!×5!×(n-5)!₎，とすると
m=0のとき
₍n!×6!×(n-0-6)!₎/₍n!×5!×(n-5)!₎=₍1×6×1₎/₍1×1×(n-5)₎=1，n-5=6よりn=11
{Σ}⁴K=Σ₁₁C₅=₍7×8×9×10×11₎/₍1×2×3×4×5₎=462，また
{Σ}⁵K=Σ₁₁C₆=₍6×7×8×9×10×11₎/₍1×2×3×4×5×6₎=462
m=1のとき
₍n!×6!×(n-1-6)!₎/₍(n-1)!×5!×(n-5)!₎=₍n×6×1₎/₍1×1×(n-5)(n-6)₎=1，n²-11n+30=6n,n²-17n+30=0(判別式D=1)よりn=15(n>6)
{Σ}⁴K=Σ₁₅C₅=₍11×12×13×14×15₎/₍1×2×3×4×5₎=3003，また
{Σ}⁵K=Σ₁₄C₆=₍9×10×11×12×13×14₎/₍1×2×3×4×5×6₎=3003
m=2のとき
₍n!×6!×(n-2-6)!₎/₍(n-2)!×5!×(n-5)!₎=1，n³-24n²+113n-210=0(判別式D=-968144)より実数解なし
三次方程式の判別式の意味と使い方 | 高校数学の美しい物語
判別式/ ９大６本松数理 吉田正章 ∗ 平成 19 年7 月12 日.pdf

これ以上は面倒なので、省略。
もうひとつのアイデア

行列式のようなものを作ることができる。これを仮に「二次の行列式」と呼ぶと、
「三次の行列式」でも同じことができる。ただし、表のどこでも、と言うわけにはゆかず、{Σ}⁰の行に限っていて、行を移動すると、係数C_k/nが必要になる。

ちなみに、対称軸を含んでいるかは関係がなく、{Σ}⁰の行を含んでいるか。
3×10-6×4=30-24=6，4×15-10×5=60-50=10，以下同じ。
こちらも四次以上は面倒。

(1*2)*3003
=1*2*3*7*11*13
=77*78
=6,006
(1*2*3*4*5)*3003
=1*2*2*2*3*3*5*7*11*13
=11*12*13*14*15
=360,360
(1*2*3*4*5*6)*3003
=1*2*2*2*2*3*3*3*5*7*11*13
=9*10*11*12*13*14
=2,162,160
(1*2*3*4*5*6*7*8)*3003
=1*2*2*2*2*2*2*2*3*3*3*5*7*7*11*13
=7*8*9*10*11*12*13*14
=121,080,960
=(1*2*3*4*5*6*7*8*9*10)*3003
=1*2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*3*5*5*7*7*11*13
=6*7*8*9*10*11*12*13*14*15
=10,897,286,400

（関係ないけれど、おまけ）

 ※逆に、Σ_n+k-1C_k=_n+kC_k+1よりΣKⁿを求めることができる。ΣK=n(n+1)/2,ΣK²=n(n+1)(2n+1)/6,ΣK³=₍n(n+1)/2₎²
☟p85演習問題21の解き方と比べるとよい。

(1)恒等式(K+1)⁴-k⁴=4k³+6k²+4k+1を用いて，和Σk³の公式を導け 

解説がスバラシク親切なハイレベル文系・理系数学I・A,II・B―新課程