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第4問目も面白かった。
n桁の自然数の各桁の和を求める問題である。
例えば、６桁の数
１２３４５６
の各桁の和は
１２３
４５６
の２数の和の各桁の和に等しい。
これを繰り返すと、
１
２
３
４
５
６
の１桁の６数の和の各桁の和に等しい。
これを分析的理解とする。
これを反対から考える。
１桁の数の和は、それで構成される桁数をもつ数の和に等しい。
１
２
の１桁の２数の和の各桁の和は、例えば
１２
の２桁の数の各桁の和に等しい。
すなわち、ｎ桁の数の各桁の和をＳｎと表現できるとして、Ｓ１+ Ｓ１ = Ｓ１×２= S２であるとするならば、
Ｓ１ + Ｓｎ-１=Ｓ１ × n =Sｎ
であるので、或る２つの自然数 p と q を用いて
Ｓｎ =Ｓ１ × ｎ= Ｓ１ × ( p + q ) =Ｓ１× p + Ｓ１× q =Ｓp + Ｓq , p + q = n
が言える。また、そのｎ桁の自然数が具体的な数 x であり、x の各桁の和を出すことを繰り返して１桁の自然数 y になることを Ｓｎ(ｘ) = Ｓ１( y ) ＝ｙと表現できるならば、
Ｓｎ( Ｘ )＝９ ↔ ｘは９の倍数
ｘは９の倍数 → Ｓｎ( Ｘ ) = ９
Ｓｎ(９ + ９ + ９ × m ) = Ｓ・(１ + ８ + ９ × m ) = Ｓ・(９ + ９ + ９ × m-1 ) = Ｓ１(９) ＝９
Ｓｎ( Ｘ )＝９ → ｘは９の倍数
Ｓｎ( X )＝Ｓｎ( Ｘ１×１０n + ～ + Ｘｎ )＝９ のとき
Ｘ１×１０n + ～+ Ｘｎ ≡ 0 （mod９）
Ｘ１ +～+ Ｘｎ ≡ 0 （mod９）
Ｓｎ( X )＝Ｓ・( Ｘ１ + ～+ Ｘｎ )＝Ｓｎ( ９ × m )，mは自然数
或いは、数学的帰納法で。ａ>0 , ｂ>0のとき
(１０×ａ + ｂ ) + ９ = (１０×ａ + ｂ ) + (１０-１) = １０(ａ+１) + (ｂ -１)
２桁の９の倍数はすべて各桁の和が９であるので、すべての９の倍数で各桁の和が９
問題文の指示内容を統合的に捉え直し、それが全領域を漏れなく説明することで、分析的になる。
良い説明になっていないけれど、せっかく頑張ったので（絵馬奉納）。
