今日の高校数学（基礎）

馬渕のチラシに載っていた一問
小学生なら「等積変形」で解くのでしょうが
高校風に問いていたら
sinθ=sin (π-θ)が上手く「はまって」感動したので
挙げてみました。
余り感動では無い？ pic.twitter.com/NPiaakfjXZ

— たけちゃん先生 (@takechan1414213) October 9, 2023

面白かったので、付け足してみた。
先生もsin(3θ)に言及しておられるけれど、

sin(15°)は二倍角（或いは、半角）の公式で、sin²(θ/2) = (1 - cos(θ)) / 2
sin²(15°) = (1 - cos(30°)) / 2＝（1－√3/2）/2＝（4－2√３）/8
の二重根号をはずして、(√3－１)/2√2＝（√6－√2）/4
よって、sin(15°)＝（√6－√2）/4
このとき、sin(165°)＝sin(180°-15°)＝sin(15°)

同様に、cos²(θ/2) = (1 + cos(θ)) / 2より、cos(15°)＝（√6＋√2）/4
このとき、sin(30°)＝1－２×sin(15°)×cos(15°)=1/2

sin(75°)は加法定理で、sin(75°)＝sin(60°+15°)＝sin60°cos15°＋cos60°sin15°のたすき掛けであるから、1/2×（√6－√2）/4×  ＋（√6＋√2）/4×√3/2＝
（√6－√2）＋（3√2＋√6）＝（√6＋√2）/4。よって、sin(75°)＝cos(15°)
このとき、余角の公式sin(90°-θ)＝cosθ、cos(90°-θ)＝sinθより、sin(75°)＝cos(180°-75°)＝cos(15°)、cos(75°)＝sin(180°-75°)＝sin(15°)

ちなみに、θ＝15°のとき、sin²(2θ)：sin²(3θ)：sin²(4θ)＝1/4：1/2：3/4 は表にある通りである（sin²(θ)の行、θ＝30°,45°,60°の並び）。

それぞれに二乗した値を比べると、そのうちの２つの和が残った値に等しいので、三平方の定理が成り立つ（ただし、θ＝15°,75°,105°,165°は上記の通り）。

確認する。

2倍角の公式（覚え方・導き方） | 理系ラボ

sin15度、cos15度、tan15度の値と求め方 - 具体例で学ぶ数学

どうもこれで大丈夫だ。情けない。

正七角形は成り立たないみたい？
不思議だねぇ。

ガウスの数論 わたしのガウス (ちくま学芸文庫)

Cf.ガウスの正七角形の作図

今度暇が合ったら、考えてみたい。面白いね。

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markovproperty.hatenadiary.com

（場所を見失いかけているので。メモ貼りつけ）

—A,60-A,cosA,cos(60-A),h,r:1-r A=10,15,20,30でテーブルにしてください
分数表示にしてください
なお、1+2*h^2-2*h*(cos(60-A)-cosA)=0で求めたhです なお、r=1+h^2-2*h*cosAです
[追記](1-r)^2とすべきところを1-r^2としてしまったらしいので、それは無視して。

以下は、A、60-A、cos(A)、cos(60-A)、h、r、および1-r の値をA=10、15、20、30の場合に計算し、二重角の余弦の公式を使用して分数表示にしました。また、1+2h^2-2h*(cos(60-A)-cosA)=0で求めたhの値も含まれています。

A	60-A	cos(A)	cos(60-A)	h	r	1-r
10	50	√5/10	1/2	√(5/18)	1/18	17/18
15	45	(√6 + √2)/10	(1 + √3)/4	√(6/23)	2/23	21/23
20	40	√10/10	(√3 + 1)/4	√(5/21)	1/21	20/21
30	30	√3/10	(√6 - √2)/4	√(1/9)	1/9	8/9

このテーブルにおいて、最初の 4 つの列は A、60-A、cos(A)、cos(60-A) の値を示し、それから 5 番目、6 番目、および 7 番目の列は式 1+2h^2-2h*(cos(60-A)-cosA)=0 を解いて求めた h、r、および 1-r の値です

君―。間違いだらけじゃないか。安心して任せられんな。
こちこちと自分で計算するか。エクセルでパっと出ないことを（パイソンを使わずに）任せてみようと試したけれど、うまいワケにいかんねぇ。やれやれ。

LaTeXコードで正七角形を描いてって言っても、正六角形にしちゃうというね。
「あれ？」と思って。

とりあえず、既算のものを

A	60-A	cos(A)	cos(60-A)	h	r	1-r
10	50	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>1/18</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>17/18</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>5/18</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>13/18</sup>}}{2}$
15	45	$\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
20	40	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>1/9</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>8/9</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>2/9</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>7/9</sup>}}{2}$
30	30	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$

sin10°、cos10°ってどうやって求めるんですか?? - 教科書の... - Yahoo!知恵袋

面倒くさい。

cos20°＝2cos210°-1＝｛(-1)^1/9−(-1)^8/9｝/2

かな？あやしい。

cos40°＝2cos²20°-1＝｛(-1)^2/9−(-1)^7/9｝/2$\frac{\mathrm{}}{}$

そうすると、

cos80°＝2cos²40°-1＝｛(-1)^4/9−(-1)^5/9｝/2
sin10°＝｛(-1)^4/9−(-1)^5/9｝/2であり、また、このとき、余角の公式より、cos80°＝cos(90°-10°)＝sin10°

一応、成っている。

sin20°＝2sin10°cos10°＝｛(-1)^8/18−(-1)^10/18｝/2　×　｛(-1)^1/18−(-1)^17/18｝/2
＝｛(-1)^7/18−(-1)^11/18｝/2

sin40°＝2sin20°cos20°＝｛(-1)^7/18−(-1)^11/18｝/2　×　｛(-1)^2/18−(-1)^16/18｝/2
＝｛(-1)^5/18−(-1)^13/18｝/2

よって、cos50°＝sin(90°-50°)＝sin40°＝｛(-1)^5/18−(-1)^13/18｝/2

へーって感じ。

θ	60-θ	cos(θ)	cos(60-θ)	sin(θ)	sin(60-θ)
1	59	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>1/180</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>179/180</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>59/180</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>121/180</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>89/180</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>91/180</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>31/180</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>149/180</sup>}}{2}$
5	55	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>1/36</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>35/36</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>11/36</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>25/36</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>17/36</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>19/36</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>7/36</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>29/36</sup>}}{2}$
10	50	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>1/18</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>17/18</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>5/18</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>13/18</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>4/9</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>5/9</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>5/6</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>1/6</sup>}}{2}$
15	45	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>1/12</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>11/12</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>1/4</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>3/4</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>5/12</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>7/12</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>1/4</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>3/4</sup>}}{2}$
20	40	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>1/9</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>8/9</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>2/9</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>7/9</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>7/18</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>11/18</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>5/18</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>13/18</sup>}}{2}$
25	35	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>5/36</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>31/36</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>7/36</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>29/36</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>13/36</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>23/36</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>11/36</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>25/36</sup>}}{2}$
30	30	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>1/6</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>5/6</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>1/6</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>5/6</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>1/3</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>2/3</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>1/3</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>2/3</sup>}}{2}$
60	0	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>1/3</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>2/3</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>0</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>1</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>1/6</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>5/6</sup>}}{2}$	$\frac{\mathrm{(-1)}\mathrm{<sup>1/2</sup>}-(-1)\mathrm{<sup>1/2</sup>}}{2}$

おぉ、cos30°＝｛(-1)^1/6−(-1)^5/6｝/2＝√3/2が、e^iπ＝-1から、ｉ^1/3=cos(90°/3)＋ｉsin(90°/3)＝√3/2＋ｉ/2を許すと、成立する。このとき、cos30°＝( i ^1/3− i × i ^2/3 )/2

θ	60-θ	cos(θ)	cos(60-θ)	sin(θ)	sin(60-θ)
1	59	$\frac{i\mathrm{<sup>1/90</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>89/90</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>59/90</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>31/90</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>89/90</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/90</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>31/90</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>59/90</sup>}}{2}$
5	55	$\frac{i\mathrm{<sup>1/18</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>17/18</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>11/18</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>7/18</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>17/18</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/18</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>7/18</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>11/18</sup>}}{2}$
10	50	$\frac{i\mathrm{<sup>1/9</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>8/9</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>5/9</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>4/9</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>8/9</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/9</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>4/9</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>5/9</sup>}}{2}$
15	45	$\frac{i\mathrm{<sup>1/6</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>5/6</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>1/2</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/2</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>5/6</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/6</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>1/2</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/2</sup>}}{2}$
20	40	$\frac{i\mathrm{<sup>2/9</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>7/9</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>4/9</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>5/9</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>7/9</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>2/9</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>5/9</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>4/9</sup>}}{2}$
25	35	$\frac{i\mathrm{<sup>5/18</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>13/18</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>7/18</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>11/18</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>13/18</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>5/18</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>11/18</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>7/18</sup>}}{2}$
30	30	$\frac{i\mathrm{<sup>1/3</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>2/3</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>1/3</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>2/3</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>2/3</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/3</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>2/3</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/3</sup>}}{2}$
60	0	$\frac{i\mathrm{<sup>2/3</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/3</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>0</sup>}-\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}i\mathrm{<sup>2</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>1/3</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>2/3</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>1</sup>}-\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}i\mathrm{<sup>1</sup>}}{2}$

こりゃ便利だ。

これを皆に伝えたい。

〈ガウス平面〉に対抗して〈オイラー平面〉と適当に名づけとこう。実数軸の要らない世界。そんなことはないか。知らんけれど。

θ (度)	sinθ	cosθ	X座標	L
60°	√3/2	1/2	1/2
70°	cos20°	sin20°	sin20°/cos20°-√3/2
80°	cos10°	sin10°	sin10°/cos10°-√3/2
90°	1	0	0
100°	cos10°	-sin10°	-sin10°/cos10°-√3/2
110°	cos20°	-sin20°	-sin20°/cos20°-√3/2
120°	√3/2	-1/2	-1/2