≦昔ミシンの垂直全回転釜をフルCGで再現する仕事をした事があるのだけど、滅茶苦茶に難しくて四苦八苦した記憶蘇る。
— モジョン (@mojon1) January 27, 2024
構造を知れば知るほどミシンの開発者は天才だと驚嘆した。
当時Lightwaveで制作したのだけど構造が複雑すぎてシミュレーションでやる訳にもいかず本当に難しかった。 https://t.co/i8SSXRyTiq
なるほど「結び目」あるいは「結束」なんだけれど、要は、「縄構造」と一緒かね。
ニッポン人は、縄を持っていたし、自転車を発明したけれど、ネジは発明できなかったんだよな。
なぜか、西洋人は、ネジ（スクリュー）が得意だ。
だから、ボビンケースが「すごい」んじゃないかと思うけれど、アメリカ人にとっては、針の先に糸を通すのが「すごい」んだねぇ。
ボビンケースの方は、原型があったのかねぇ。ボビンってフランス語らしいし。
説明しても「よく分からない」と言われたので動画を作りました。 https://t.co/Per0i8u0G1 pic.twitter.com/ikIRO6QvRN
— 青木＠蔵 (@tahito) January 27, 2024
なるほどね。これだね。
QR//PA、QP//RAに気付けるかどうか
Rの位置を としないように。
立方体を半分に割ることで、同じ底面積と高さを持つ三角柱、斜三角柱の体積がどれも等しいことが分かる（cf.底辺の長さと高さが等しい三角形の面積はどれも等しい）。
いや、後出しだよ。すごいね。
実は知能にも「大雑把に捉える力」が試されて、この問題は、それだったかな。
「適当に考える」ことも大事なんだよね。
- 頭の中で立体図が描ける（或いは、実際に図示できる）
- 教えられた「立体」＝「立方体」の体積の求め方から、類推する
（特徴の相当性と関係性の発見）
が求められたのかな？１のポイントは、小さな直角二等辺三角形の二等辺が、３センチの半分になっていることだね。立体視する前に、この小さい二等辺三角形を４５°＋１２０°回転移動させて、くるっと回して、正方形が一角を欠いた部分にパチッと、くっつけてやることだね。そうすると、二等辺の長さが、半分ってわかるから。そのうえで、２で、これまた、今度は立体図を、回転移動させるんだね。直角二等辺三角形からの類推から、すなわち、同じ長さをもつ二辺のなす角が直角であるところから、類推して、直角三等辺三角錐というでもいうかな、「平面でできたこと」を「立体でできること」に応用するんだね。その際に、「体積の求め方」＝「立方体の体積の求め方」であるところから、要素から成る「相当性の発見」「関係性の発見」ができるかどうか、だろうね。
だから、手続き的乃至認知的には、
- 平面の回転移動
- 立体の回転移動
パターン認識的、推理的には、
解釈的には
- （絵を全体から眺め）大雑把に捉える（意味的な枝葉末節に囚われない）
- 要素から成る、相当性と関係性の発見（解釈可能な文脈化；立方体の断面の意味の構成的理解）
これだけの能力が問われたんだね。
構造の相当性の発見から（直角三等辺三角錐が立方体の一部に相当することを発見することから）、構成的意味を発見する（それが断面を持つとき、中心に関して対称を維持した断面—六角形—となっていることを発見する）という二段階の認知上のジャンプアップの機会を実際どれだけもてるのか、それには抽象化する能力が必要とされるが（例えば、「国Ⅰ」の問題なら、「切る」という具体的手続きが、「平面」という抽象的図形になる、すなわち、手続き構成上の個別の事実的経緯が、図形構成上の固有の要素的特徴になる。時間的説明が無時間的説明になり、むしろ、帰結から—背理しないよう—整合的に理解され直されなくてはならない。特にこの認知の転換が、）、小学校で「対称な図形」を習うことから、どうなのだろう？
今回は、「それが立方体の一部であるかを如何に気付けるか」、その契機に焦点を合わせるのが一番説得的であると感じたのが、私のくだくだしい言い分である。
そして、閃いたところ「だって、そうなんだもん」から一歩踏み出して、構成的に説明できるならば、その説明はより発展的な「問いの構成」を生むことに等しいだろうと思うのである。今問題ならば、点対称な立体の断面が点対称と成っている図形であった（点対称な断面を点対称な立体に埋め込むことが可能である）。これは立方体に 寄せて 理解する必要があったが、それを離れて理解することが 可能と成ること であった。
「囲碁」云々とは、言い得て妙なんだけれど、秋山先生のこういったこともある。
本当に勉強になりました。ありがとうございます。
正多面体と平行多面体の元素定理 秋山 仁，佐藤郁郎，中川 宏
それ素数に繋がるぞ。ほかにも稠密問題とか、発展性を持つから、本当に、良問。
《ちょっと違った見方》ここまで考えるのかな？と悩んだけれど・・・
Qに垂直な円Ｐの円周上の２点p1とp2と円の中心Ｏをそれぞれ結んだ線分のなす角が９０°のとき、３本の線分の長さが、OQ=Op1=Op2 と考えると、三角錐というモノから幾何図形というコトに代わって捉えられる。
（ただし、小学生で座標系というのを習わないので、いかがなものか？と思うが、大学受験の「前倒し」が中学受験のとき、大学数学の「前倒し」が大学受験になりつつある現状を考えると。。。なんでも「前倒し」ふがよいとは思わないんだけれどね—小学生のときには、小学生の考えるべき、それ自体が豊かな内容がある。急いでも、もったいないような気がする。ごちそうだって、掻きこんで食べても、美味しくはないでしょ？美味しい食事は美味しく食べないと、人生が豊かにならない。）
取っ手の向きを90度回転させると分かりやすいのだけど、このちょっとした違いで不可能性が全く違って見えるのが人間の知覚の面白いところですね。 https://t.co/bwRzsUKzET pic.twitter.com/AWUg1AazkR
— 池田洋介 (@ikeikey) January 30, 2024
これはすごいね。拍手だよ👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏
ツイートを参考に頭を整理して（トーラス結び目 - Wikipedia）、投射図を描くと
「地球に長いロープで結ばれたロケットが宇宙を一周して戻って来るとき，ロケットがどんな軌道を描いた場合でもロープを手繰り寄せて回収できるのであれば，宇宙の形は概ね球体である」
子どもの空間表象にかんナる発逹的研究-—トボロジー空間を中心にして（その二）滝沢武久
［備考１ 外積］
今はもう高校の「数学Ｂ」で外積（クロス積）をやるの？えー！って感じ。
内積って電気の力率とか使うんだけれど、外積とか、スピンとか出てきて、「テンソル解析」とかなのでしょうか？まったく知らんのだけれど。
あ、そっか。電気の教科書を確認したら内積も外積も出てきていた。
『これならわかるベクトル図徹底攻略 (電気徹底攻略シリーズ) 』（P.41,P.46）
直列回路に交流電圧を加えると、電流の位相（波形）が電圧の位相（波形）に遅れる（時間差が発生する）。そのため、電力が電流×電圧で得られるとき、この計算式を機械的にあてはめた見かけ電力（皮相電力）と実際の電力（有効電力）に違いが出るので、この遅れを角度で表すのだ。このとき、白熱灯なら力率１００%であるが、水銀灯なら５０%ほどである。
これは所謂「電験二種」（第二種電気主任技術者試験）を受けるようなおおむね大学生向けの教科書で、１０代も居るが、ほとんどの受験者が２０代以降で、複数回受験することも珍しくない。
ところが、工業高校へ行くと、実は同じ内容を習えるらしい。高等専門学校もそうだろう。
［備考２ 内積］
正射影ベクトルの公式の証明と使い方 | 高校数学の美しい物語
線形計画法（なお、詳細はリンク先参照）
やりすぎなんだよね。
ちなみに、リンク先の説明は、高校生にもわかるように工夫され（過ぎ）ていてかえってわからない。というか、この説明では、ほぼわからない。
直交座標で示される平面において、２変量（x,y）の取りうる或る領域（内及び境界）の点のうち適当な点を選んで、関数f(x,y)=k（実数値）を最大にする。
- 関数値を取る（ｘの値に対し、ｙの値が定まる）
- 或る領域（内及び境界）の点を取る
- 最大値を取る
（五）が、２変量（，）について {} {} が , のとき、実数値の集まり {} が であるならば、（三）乃至（四）が制約式と成る。
要は、
- ｋを大きくするためには、 何もなければ ｘとｙを どれだけ大きくしてもよいが
（ ｘもｙも 大きければ大きいほど良い。） - （三にあっては、） 大きくなり方 をｘとｙの関係式で表しており
- （四にあっては、）大きくしてよい２変量の 組み合わせの限界 を設けている
いうことである。
そうすると、上の（一）の内積で求めるならば、 （ は実数）のところ、或る領域（内及び境界）の点（，）を取るのであるから、
- の内分点が或る領域（内及び境界）の点を取る
こととなる（「内積」とはそういうコトである）。
高校生でも「計算している」だけであって相当無理があるね。「技術」じゃなくて「論理」を中心に考えるべきじゃないかな？（ここでできているわけではない。）
よく「算数教育の限界」について指摘されるけれど、それは「高校数学教育の限界」でも実は大して違わなかったりする。数学の「技術」に関して言えば、細かく分節して提供できるだけにすぎない。しかし、それは計算であって、概念からなる数学ということでは、相当違和感がある。算数の場合、発達段階及びそれに沿った学習（の積み重ねの）段階にあって、より制限が厳しいだけである。「数学」が厳密に理解できるのは大学以降であって、高校生にしろ小学生にしろ、必要に応じて「便利な使い方」を学んでいるのに過ぎない。ただ、高校生と小学生なら、必要の程度が異なるのに過ぎない。成長と積み重ねが違うからだ。
逆に言うと、算数教育に対する数学者の指摘は、ほとんど不毛と言ってよい。そんな綺麗な「数学教育」が意味をなす実社会がないからだ。ファンタジーである。
小学生は小学生なのだ。
下のリンクは、著名な国立の高校に奉職されて、長年数学を教えられていたこの先生のホームページで、以前そこで外積の説明をされているのを思い出して「あれ、よかったなぁ」と思って追加したのだけれど、肝心のそれがどれか見失ってしまった。
本ホームページは平成19年より「SSH数学図形ゼミ」として発表してきました．筆者の勤務校がSSH採用校であったからで， 定年退職したのでSSH の冠を取るべきだと思いこの機会に名前を「初等数学入門」に変更いたしました．引き続きよろしくお願いいたします． ここでいう初等数学とは高校で学ぶ数学を予備知識とするを意味しています．
Super Science Highschoolという文科省の指定ができてだいぶたつけれど、そういった高校生になってゆくんだなと思って。
【参考】
P.61，４ 内分点に着目した眺め方，Ⅱ数学的発想を養う１０の問題
『灘中の数学発想法』
四角形 の面積を半分に二等分する の を求める。
線分 を内分する点 を採ったとき、△ の面積は、△、△、△の面積の和であり、それらは赤く塗られた三つの四角形のそれぞれ半分である。
P.107，アラウンド・ザ１００円玉
『頭のよくなる本』
従来の「円の外側を円が転がったら」の問題の反対で、「円の内側を円が転がったら」ということだが、考え方は同様で、水平の線分 の上を円 が 回転、転がり終わってから、 の終点をぐるっと回して始点に繋いで円にする。そうすると、１回転分、回転が増減するという具合である。上図は円だと考えにくいので、サイコロで考えた次第である（左の図は、内の▢と外の▢の周長比が１：１のとき、外周する場合、１＋１＝２回転。右の図は、内の▢と外の▢の周長比が３：１のとき、内周する場合、３ー１＝２回転。いずれも２回転で、図の通りだが、右の図の場合、外の▢の４隅の角で重なっているので、外周延長を水平にして内の▢を転がさないとわかりにくいかもしれない）。
イメージを掴んだら、サイコロだと条件が限られるので、今度は、円でも同様の法則が成り立つか（同様でないか）だけを考えればよい。
外角の和が１周３６０°のとき、N角形の内角の和は、３６０×Ｎ/２－３６０（°）である。
P.87，2-2空間図形が嫌いにならないために，第2章「図形のつまづき」
『ぼくも算数が苦手だった』
さきほどは円の周囲を回るのであったが、こんどは、軸を周囲を回る。立方体内部の斜線がどう回転するか。台形にならず鼓形になる次第である。
PP.74，４ ２つをひとつにひっくるめる 虚数 複素数
『直観でわかる数学』
「複素関数とは２つの要素と２つの要素の対応関係を記述する概念である．（略）
大学教授たちが教えたいのは，この複素数の対応関係である．（略）
高校生のうちに複素数のイロハを仕込んでおいてやろうと，大学教授たちに配慮しているのである．」と言ったうえで、図の説明に
「この対応が複素関数．くわしいことはわからなくてよい」
もちろん、立派な先生である。
濱中さんって富山の人なんやねぇ。『検証・学歴の効用』の著者
