今日の高校数学（基礎） 若干の延長戦

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θ	60-θ	cos(θ)	cos(60-θ)	sin(θ)	sin(60-θ)
1	59	$\frac{i\mathrm{<sup>1/90</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>89/90</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>59/90</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>31/90</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>89/90</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/90</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>31/90</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>59/90</sup>}}{2}$
5	55	$\frac{i\mathrm{<sup>1/18</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>17/18</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>11/18</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>7/18</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>17/18</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/18</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>7/18</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>11/18</sup>}}{2}$
10	50	$\frac{i\mathrm{<sup>1/9</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>8/9</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>5/9</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>4/9</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>8/9</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/9</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>4/9</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>5/9</sup>}}{2}$
15	45	$\frac{i\mathrm{<sup>1/6</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>5/6</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>1/2</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/2</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>5/6</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/6</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>1/2</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/2</sup>}}{2}$
20	40	$\frac{i\mathrm{<sup>2/9</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>7/9</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>4/9</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>5/9</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>7/9</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>2/9</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>5/9</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>4/9</sup>}}{2}$
25	35	$\frac{i\mathrm{<sup>5/18</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>13/18</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>7/18</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>11/18</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>13/18</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>5/18</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>11/18</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>7/18</sup>}}{2}$
30	30	$\frac{i\mathrm{<sup>1/3</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>2/3</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>1/3</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>2/3</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>2/3</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/3</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>2/3</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/3</sup>}}{2}$
60	0	$\frac{i\mathrm{<sup>2/3</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>1/3</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>0</sup>}-\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}i\mathrm{<sup>2</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>1/3</sup>}-i\mathrm{・}i\mathrm{<sup>2/3</sup>}}{2}$	$\frac{i\mathrm{<sup>1</sup>}-\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}i\mathrm{<sup>1</sup>}}{2}$

このとき、

で二乗の項は消えるから、

${\cos }^2+{\sin }^2=\frac{-2i·i^{\left(\frac{\mathrm{k1}+\mathrm{k2}}{90}\right)}}{4}+\frac{-2i·i^{\left(\frac{\mathrm{k1}+\mathrm{k2}}{90}\right)}}{4}=$ =i^2·i·i^{(\frac{\mathrm{k1}}{90}+\frac{\mathrm{k2}}{90})}$$ {\mathrm{<br>}}^{}{}^{}=$1$

【和と積（累乗）の関係】

ならば、３：４：５の三角比を持つ直角三角形はどうなのか？

「${\sin }^{-1}(\frac{3}{5})<br>$は超越数です」

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Chat君に聞いてみた。

―3：4：5三角比を持つ直角三角形の内角θ

直角三角形の内角θを求めるために、三角比（三角形の辺の長さの比）を使用して、三角関数を使って角度θを計算できます。与えられた三角比は3：4：5なので、三角形の辺の長さが3、4、5と仮定します。

直角三角形の場合、通常、ピタゴラスの定理を使用して、辺の長さを確認します。ピタゴラスの定理は、a² + b² = c²で表され、aとbは直角を形成する2辺の長さ、cは斜辺（直角三角形の斜めの辺）の長さです。

ここでは、a = 3, b = 4, c = 5とします。したがって、3² + 4² = 5² となります。これは真実です。したがって、与えられた三辺は実際に直角三角形を形成します。

次に、角度θを計算します。一般的に、sin(θ) = 対向辺 / 斜辺、cos(θ) = 隣接辺 / 斜辺、tan(θ) = 対向辺 / 隣接辺という三角関数が使われます。

sin(θ) = 対向辺 / 斜辺 = 3 / 5
θ = arcsin(3/5)

arcsinは逆正弦関数で、与えられた値の逆正弦を求めます。したがって、θを求めるためにarcsin(3/5)を計算します。

計算結果は、θ ≈ 36.87度です。

したがって、この直角三角形の内角θは約36.87度です。

—ラジアン表示で

θのラジアン表示を計算するために、まずθを度数法からラジアン法に変換します。1度はπ/180ラジアンに等しいので、37度をラジアンに変換すると次のようになります：

θ（ラジアン） = 37度 × (π/180) ≈ 0.64516 ラジアン

したがって、3:4:5の三角比を持つ直角三角形の内角θのラジアン表示は約0.64516ラジアンです。

—sin^(-1)(3/5)は超越数です

申し訳ありません、前の回答に誤りがありました。θの正確な数値を表現するためには、無理数または超越数の可能性があります。sin^(-1)(3/5) は超越数であることが知られています。

3:4:5の三角比を持つ直角三角形の内角θの正確な値は、無理数または超越数であるため、厳密な数値での表現は不可能です。したがって、sin^(-1)(3/5)は数学的に超越数であることが示されています。

—sin^(-1)(3/5)は超越数です

sin^(-1)(3/5) は超越数ではありません。実際には代数方程式の解として表現できます。sin^(-1)(3/5) は逆三角関数の一つで、数学的には、次のような方程式を解くことに対応しています：

sin(x) = 3/5

この方程式を解くために、逆三角関数 sin^(-1) を使用します。具体的には、x = sin^(-1)(3/5) は、sin(x) = 3/5 を満たす x の値を表します。

超越数とは、代数方程式の根として表現できない数のことを指します。一般的に、三角関数や逆三角関数の値は代数方程式の根として表現できるため、sin^(-1)(3/5) は超越数ではありません。

君―！（いや、知らんけれど。）
さすが、文脈マシーン。

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後で見るかもしれない。あくまで気まぐれ。
目的が違うかもしれない。
でも評判いい。

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こちらだろうか？知らんうちに変わっていた。

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カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコービ

キリがないんだよな。

面白い話だったけれど、そろそろ切り上げ時だろうか。ま、いっか。

気が向いたら。