今日のパイソン

√２^ｘ＝ｘ（ｘ＝√２^ｘ＝ √２ ^√２ｘ＝√２^{√２√２ｘ}＝√２^{√２√２√２・・・}） から変形して
ちょっとしたお遊び。

2 ^{2 — 1}    ＝x ^{x — 1}    ＝(2m) ^{2m — 1}    ，２ｍ＝２^m

これを、Ｋｍ＝Ｋ^mとすると、

m=Ｋのとき、Ｋ²＝Ｋ^Ｋ　K=m=２

m=Ｋ+αとのき、Ｋ²＋Ｋα＝Ｋ^ＫＫ^α

Ｋ=2のとき、４＋２α＝４×２^α  ∴α＝２×( ２^α -１ )

Chat君にコード化してもらった

Google Colab

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

alpha = np.linspace(-1.5, 1.5, 100)  # -1.5から0.5までの範囲を100等分する
y1 = 2 * (2**alpha - 1)
y2 = alpha

plt.plot(alpha, y1, label='y = 2 × (2^α - 1)')
plt.plot(alpha, y2, label='y = α')
plt.xlabel('α')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graphs of y = 2 × (2^α - 1) and y = α')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

import scipy.optimize as opt

def equation(alpha):
    return 2 * (2**alpha - 1) - alpha

# 数値的な方法を使用して交点を求める
intersection = opt.root_scalar(equation, method='brentq', bracket=[0, 4])

if intersection.converged:
    intersection_alpha = intersection.root
    print(f"The intersection point is at α = {intersection_alpha:.4f}")
else:
    print("No intersection point found within the given range.")

結果

The intersection point is at α = 0.0000

負の数の範囲だとエラーが出る。
α＝０のとき、ｍ＝２（このとき、ｘ＝４）
α＝-１のとき、ｍ＝１（このとき、ｘ＝２）

m=Ｋ^Ｋとすると、Ｋｍ＝Ｋ^mよりＫ^Ｋ+1＝Ｋ^ＫＫ，K+1＝Ｋ^Ｋ　
よって、
Ｋ＝０のとき、ｍ＝１
Ｋ＝２のとき不可

参考）

m=Ｋ^Ｋ+αとのき、Ｋｍ＝Ｋ^mよりＫ^Ｋ+1＋Ｋα＝Ｋ^ＫＫＫ^α
Ｋ=2のとき、α=-3。よってm=1

β₀=1のとき、β_n＝2^β_n-1 がm=β_n+αで成り立つか。
n=1で成り立つ。β_n＝2^β_n-1 とするとβ_n+1＝2^2β_n-1 でも成り立ち、このとき、m=1

よって、m=1

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パイソンを使うには、ChatGTPでコードを書いてもらって、Google Colabで試す。

パイソンは今まで使えなかったけれど、ChatGTPのおかげで少しだけ使えるようになった。

はてなブログで使うtex記法 - とある科学の備忘録

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ASCII.jp：マイクロソフト、Bing AIでLaTeXを利用可能に 複雑な数式にも対応

こういうのが使いこなせない。
ChatGTPだとLaTEXを使えて、分数の添え字も違和感なく表示できる。

あせらずに、ゆっくりでいい。
あたらしい目標に向かって、少しづつ調子を取り戻して行こう。

これからは、いつだって今からの人生が本当の人生。
今何ができているかを常に大切にしてゆく。

いや、本当に、ほんのお遊びなんだけれど。