今日のメモ - Prinzip der Permanenz der formalen Gesetze

【話題】
中学3年生が、
『√2+√3=√5』
にならない理由がわからなくて困っています。わかりやすい説明をお願いします！
— ポテト一郎🥔 (@potetoichiro) June 2, 2022

なるほど。

『理由がわからなくて困っています。わかりやすい説明をお願いします！』

ということですので、求めているのは『わかりやすい説明』であって、何かしらの『答え』では「ない」ということですね。

その説明は『理由』に依存しているということですね。
わかりました。

その『理由』とは何かですが、「数学が「数学」である理由」のことですね。

それでは、「数学」とは何かを考えましょう。

ここでは、「学」とは「スポーツ」であると考えます。したがって、

ルールに必ず従うこと。
そのためにレフェリーに必ず従うこと。
ルールに従って「競う」こと。

をまずは約束しましょう。

「数学」のことですから、数の学問ですが、これが数についての理解をルールとレフェリーに従って「競う」ことで成立していることを言いました。

それで次に「競う」とは何かということですが、辞書を繰ると「負けまいと張り合うこと」ですから、「正しい理解」と「間違った理解」が張り合ってそれでも「間違った理解」が負ける、すなわち、排除されることを意味します。「正しい理解」があるとき「間違った理解」も同時にあるのは、以下の通り数は操作に従うためで（ルール１　数の基本的性質）、正しい操作が、いつでも間違った操作よりも優先して選択されなければならないとジャッジされます。

ルール１　数を操作して得られる何かは、また或る（一つの）数でなければならない

記号には、①操作のための記号と、②操作の対象となる記号と、③意味を構成する記号があります。①は＋－×÷や二乗を支持する添え字その他で、②は自然数その他で、③は等号を意味する＝、不等号を意味する＜＞その他です。

ルール２　同じ数であるとは、同じ操作をしてできる数も同じでなければならない

さて、問題は、√2+√3≠√5 であることです。

ここで、ルール１により左辺の√2+√3は或る一つの数ですが、内実がよくわかりません。ですから約束３に従って未知数（まだそれが何かわからないが、一つの数であることは間違いのない、、、、、、記号）を使用することとし、それをＸと表示します。

すなわち、√2+√3＝Ｘです。

ここで、仮に、√2+√3＝√５とすると、√５＝X であることを意味します。
そうすると、ルール２により両辺を二乗する操作をすると、５＝X^２です。
このとき、２＋３＝５ですから、２＋３＝( √2+√3 )^２を仮に意味します※。

２つの実数a、bがあるとき、( a+b )^２＝a^２＋2ab＋b ^２であるならば、両辺を比較してみますと、２＋３－( √2+√3 )^２＝( √2)^２＋( √3 )^２－( √2+√3 )^２＝2√6 です。

これは、√(2＋3) ＜ √2+√3 を帰結しています。
これが（＜ではなく）＝であるとは、2 か3 のいずれか一方が 0 であることになりますので、2 であるような 0 であるような、数を一意的に表すことができなくなります。

【研究】

そもそも無理数とは何でしょう。割り切れない数です。
割り切れない数がほかにもありますが、そのうち分数にならない数です。
分数に「ならない」数とは、どれだけ分数の操作を繰り返してもその数にならない（分数の操作が終わらない）数のことです。それを無限分数と呼びます。
したがって、このとき、√2≠√3とは、無限に繰り返される分数の操作の表現内容が同じでないことを意味しています。

連分数 - Wikipedia