■ - Prinzip der Permanenz der formalen Gesetze

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【８　あるきまりをもった数の列】

f( n+2 ) = f( n+1 ) + f( n )，f( 1 ) = 1，f( 2 ) = 1 であるとする。このとき、

{f(n+1)}²+{f(n)}²= f(2n+1)であることの証明

{f(n+1)}²+{f(n)}²= f(2n+1)のとき、{f(n+2)}²－{f(n)}²= f(2n+2)が成り立つとすると、
{f(n+3)}²－{f(n+1)}²= {f(n+2)+f(n+1)}²－{f(n+1)}²= {f(n+2)}²+2f(n+2)・f(n+1)
= {f(n+2)}²+2{f(n+1)+f(n)}・f{n+1}
= {f(n+2)}²+{f(n+1)}²+{f(n+1)}²+2{f(n+1)+f(n)}+{f(n)}²－ {f(n)}²= {f(n+2)}²+{f(n+1)}²+{f(n+1)+f(n)}²－ {f(n)}²= {f(n+2)}²+{f(n+1)}²+{f(n+2)}²－ {f(n)}²

このとき、
{f(n+2)}²+{f(n+1)}²= {f(n+2)}²－ {f(n)}²+{f(n+1)}²+f(n)}²=f(2n+2)+f(2n+1)=f(2n+3)
よって、
{f(n+3)}²－{f(n+1)}²=f(2n+3)+f(2n+2)=f(2n+4)

n=1のとき、{f(1+1}²+{f(1)}²=1²+1²=2 ，f(2+1)=2で成り立ち、また
{f(1+2)}²－{f(1)}²= 3，f(2+2)=3 で成り立つ。
{f(1+3)}²－{f(1+1)}²=8，f(2+4)=8で成り立つ。
よって、すべての自然数で、{f(n+2)}²－{f(n)}²= f(2n+2) が成り立つ。
したがって、すべての自然数で、{f(n+1)}²+{f(n)}²= f(2n+1) が成り立つ。　　　　　